ПРОЯВЛЕНИЕ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ МАССЫ ПЛАНКА И МАССЫ ПРОТОНА

2.1.1 Представим некоторые известные данные по Солнечной системе. Эти данные сосредоточены в двух таблицах—1 и 2 (данные—NASA [2, 3]). Данные в таблицах, а также все расчеты представлены (выполнены) в системе СГС ($\mathrm{cm}$, $\mathrm{g}$, $\mathrm{sec}$).

2.1.2 В таблице 1 приведены диаметры планет, осредненные расстояния планет от Солнца, а также осредненные скорости движения планет вокруг Солнца.

В таблице 2 приведены массы планет и Солнца, а также плотность этих космических объектов.

Скорости движения планет по орбитам обозначим $V_{pl}$

2.2.1 Если рассматривается квантование в Солнечной системе, то прежде всего необходимо указать на особенность расстояний в данной космической системе. Эта особенность описывается известным законом (расчетом) Тициуса–Боде [4, 5]. Закон (расчет) Тициуса–Боде существует уже более 200 лет (он был установлен Тициусом, а потом незначительно изменен Боде); в нем рассмотрены такие планеты, которые были известны к тому времени (1766–1772 годы).

2.2.2 В соответствии с этим законом (расчетом) осредненные радиусы орбит, по которым движутся планеты, т.е. осредненные расстояния планет от Солнца, квантованы некоторой макроединице. Данная макроединица есть $1/8$ расстояния от Солнца до Меркурия; она равна $7.24 \cdot 10^{11} \mathrm{cm}$.

2.2.3 В таблице 3 приведены указанные выше расчеты—согласно Тициусу–Боде—расстояний планет от Солнца (обозначим их $L_{{\!}_R}$)

2.2.4 Отметим, что фактические расстояния от Солнца до планет Нептун и Плутон не соответствуют закону (расчету) Тициуса–Боде.

2.3.1 Исследуем массы космических объектов, составляющих Солнечную систему. Мы предполагаем, что квантование должно проявляться не только в расстояниях планет от Солнца, но также и в массах планет (а также в массе Солнца).

Исключим влияние размеров (радиусов) планет и Солнца на величину исследуемых масс. Будем рассматривать не весь объем каждого космического объекта, а только условную часть объема—$1 \mathrm{km^3}$ (т.е. плотность планет и Солнца).

2.3.2 Если массы указанных космических объектов квантованы, то должна существовать соответствующая макроединица массы. Проведя анализ данных, представленных в таблице 2, мы установили, что в качестве такой макроединицы следует принять массу $1\mathrm{km^3}$ объема планеты Сатурн. Это наименьшая из единичных масс (т.е. масс $1\mathrm{km^3}$ объема) среди всех рассматриваемых объектов Солнечной системы. Она равна $0.687 \cdot 10^{15}\mathrm{g}$.

2.3.3 Приведем результаты расчетов (см. таблицу 4)

2.3.4 Констатируем: массы, соответствующие $1 \mathrm{km^3}$ объема каждой планеты и $1 \mathrm{km^3}$ объема Солнца, квантованы. Приведем указанные массы (выраженные в целых макроединицах) в порядке возрастания их величины: $1,2,2,2,2,3,6,8,8,8$

3.1.1 Как было отмечено в гл. 1, Планк, рассматривая совместно три основные физические константы (постоянную $\hbar$, гравитационную постоянную $G$ и скорость света в вакууме $c$), получил выражение, описывающее некоторую фундаментальную массу [1]. Эта масса была названа масса Планка и обозначена $m_{{\!}_P}$ \begin{align*}\tag{1} m_{{\!}_P}=\left(\frac{\hbar c}{G} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}

3.1.2 Введем номинальный, гипотетический объект, которому дадим наименование гратон со следующим определением (в рамках данной работы):

гратон есть совокупность молекул, и/или атомов, и/или элементарных частиц, которая имеет суммарную массу, равную массе Планка. Каждая такая совокупность может быть интерпретирована как некоторый физический объект.

3.2.1 Исследуем массу Солнца, которую обозначим $\widetilde{M}$. Соотнесем массу $\widetilde{M}$ с массой $m_{\pi}$ \begin{align*} \frac{\widetilde{M}}{ {m_{\pi}} } = \frac{1988.5\cdot 10^{30}}{2.1767\cdot 10^{-5}} = 0.914 \cdot 10^{38} \end{align*}

3.2.2 Преобразуем полученный результат. Запишем его так \begin{align*}\tag{2} \widetilde{M}=(0.956\cdot 10^{19})^2 m_{\pi} \cong (10^{19})^2 m_{\pi} \end{align*}

Согласно полученному выражению Солнце возможно (гипотетически) разделить на ${(10^{19})}^{2}$ гратонов.

3.3.1 В гл. 2 была показана квантованность следующих основных параметров Солнечной системы:

• расстояний планет (осредненных) от Солнца (табл. 3);
• масс $1 \mathrm{km^3}$ каждой из планет, а также Солнца (табл. 4).

3.3.2 Имеется еще один основной параметр—скорость движения планеты по ее орбите (осредненная). Этот параметр в гл. 2 был обозначен $V_{pl}$; будем его исследовать не обособленно, а в составе следующего комплексного параметра: момент импульса (соответствующего каждой планете)—$\bar{m}V_{pl} L_{{\!}_R}$.

3.3.3 Значения параметров $V_{pl}$ и $L_{{\!}_R}$ приведены в табл. 1 ($L_{{\!}_R}$—это осредненное расстояние планет от Солнца). Параметр $\bar{m}$ необходимо выбрать; в качестве массы $\bar{m}$ может быть выбрана:

• масса всей планеты (согласно табл. 2)—вариант I;
• масса $1 \mathrm{km^3}$ объема планеты (согласно табл. 4)—вариант II;
• масса некоторой группы из $S$ гратонов—вариант III.

3.3.4 Варианты I и II не могут быть приняты. Масса всей планеты (вариант I) и масса $1 \mathrm{km^3}$ объема каждой планеты (вариант II) имеют различную величину у разных планет. Это означает, что моменты импульсов планет будут несопоставимы (из-за разных значений $\bar{m}$). Следовательно, будет невозможно установить квантованность (или отсутствие квантованности) скоростей движения планет по орбитам.

3.3.5 Перейдём к варианту III. Группа из $S$ гратонов будет иметь одну и ту же массу для любой планеты (при условии, что $S = const$). Для принципиального решения поставленной задачи необходимо и достаточно рассматривать только один гратон (т.е. можно принять, что $S = 1$). Будем рассматривать единичные моменты импульсов, соответствующие той или иной планете—согласно формуле \begin{align*}\tag{3} m_{\pi}V_{pl} L_{{\!}_R}; \end{align*} при этом рассматриваемый номинальный, гипотетический объект (гратон) должен находиться в области центра массы каждой планеты.

3.3.6 Указанные выше расчеты представлены в таблице 5.

3.4.1 Представим записанные выше в квадратных скобках численные результаты в приближенном виде (без повторяющегося множителя $10^{19}$): \begin{align*} 2.7; \: 3.8; \: 4.5; \: 5.5;\: 10.2;\: 13.9;\: 19.5;\: 24.3;\: 27.8 \end{align*}

3.4.2 Проведя анализ этих приближенных результатов, приходим к заключению, что следует ввести в расчеты, представленные в табл. 5, дополнительный безразмерный множитель—коэффициент $\boldsymbol{1.08}$ . Этот коэффициент учитывает то, что связано с эллиптичностью орбит, по которым планеты движутся вокруг Солнца.

3.4.3 Новые (уточненные) значения единичных моментов импульсов—с использованием множителя $1.08$, но без указания размерностей—приведены в таблице 6.

Полученные результаты можно описать так (учитывая формулу (3)) \begin{align*}\tag{4} m_{\pi}(V_{pl} L_{{\!}_R})=m_{\pi}(k\cdot 10^{19}\mathrm{cm^{2}\cdot \sec^{-1}}); \end{align*} при этом $k$ имеет такие значения: \begin{align*} k_{{\!}_{A}} = 3, 4, 5, 6; \quad k_{{\!}_{B}} = 11, 15, 21, 26, 30 \end{align*} Приходим к следующему заключению: произведение $\boldsymbol{V_{pl} L_{{\!}_R}}$ квантовано.

3.4.4 Дополнительно констатируем: группа планет A радикально отличается от группы планет B.

Известно что, плотность планет группы A в несколько раз превышает плотность планет группы B (см. таблицу 2). Таблица 6 показывает, что имеется еще одно принципиальное различие—в значениях квантованного произведения $\boldsymbol{V_{pl} L_{{\!}_R}}$, соответствующего планетам группы A и планетам группы B.

3.5.1 Необходимо ответить на вопрос—почему во всех данных таблицы 6 имеется постоянный множитель $10^{19}$. Это происходит потому, что указанный множитель выражает соотношение между массой гратона $\boldsymbol{m_{\pi}}$ (т.е. массой Планка $\boldsymbol{m_{\!_P}}$) и массой протона $\boldsymbol{m_{p}}$. \begin{align*} \frac{m_{\pi}}{m_{p}} = \frac{2.1767\cdot10^{-5}}{1.6726 \cdot 10^{-24}} = 1.301\cdot 10^{19} \end{align*} \begin{align*}\tag{5} m_{\pi} \cong 1.3 \cdot 10^{19} m_{p} \end{align*}

3.5.2 Далее мы будем рассматривать только группу планет А. Введем соотношение между массами гратона и протона в данные табл. 6; получаем

Появился новый постоянный множитель—$\boldsymbol{{(10^{19})}^{2}}$. Этот же множитель характеризует соотношение между массой Солнца и массой гратона (см. §3.2.1) \begin{align*} \widetilde{M} / m_{\pi} \cong (10^{19})^{2} \end{align*}

3.6.1 Исследуем данный множитель. Приведем следующее произведение \begin{align*}\tag{6} m_{\pi} \cdot m_{\pi} = (1.3\cdot 10^{19})^2 m^2_{p} \end{align*} Преобразуем полученное выражение \begin{align*}\tag{7} m_{\pi}^2 = ( 10^{19})^2 (1.3\cdot m_{p})^{2} \end{align*}

3.6.2 В соответствии с формулой Планка (см. §3.1.1), учитывая, что $m_{\pi} \equiv m_{\!_P}$, приходим к таким выражениям \begin{align*}\tag{8} m_{\pi}^2 = \frac{\hbar c}{G} \end{align*} \begin{align*}\tag{9} (10^{19})^2 = \frac{\hbar c}{ (1.3 \cdot m_{p})^2 G} \end{align*}

3.7.1 Вводя формулу (9) в выражения, приведенные в §3.2.1 и §3.5.2, получаем массу Солнца \begin{align*}\tag{10} \widetilde{M} = \frac{\hbar c}{ (1.3 \cdot m_{p})^2 G} m_{\pi} \end{align*}

Единичные моменты импульсов для группы планет A (в левой части размерности не указаны):

3.7.2 Укажем следующие соотношения (формулы) \begin{align*} \widetilde{M}=(10^{19})^2 m_{\pi}; \quad (10^{19})^2 = \frac{\widetilde{M}}{m_{\pi}};\quad m_{p}(10^{19})^2=\widetilde{M} \frac{m_{p}}{m_{\pi}} \: \end{align*}

3.7.3 Все единичные моменты импульсов, которые рассмотрены в §3.3.4–§3.7.1, могут быть записаны так (без указания размерностей)

3.7.4 Суммируя изложенное в настоящей главе приходим к заключению, что Солнечная система есть такая совокупность звезды и планет, движущихся вокруг этой звезды, которая представляет собой единый целостный космический объект.

3.8.1 Предположим, что в §3.3.4, §3.3.5 вместо $S =1$ мы приняли бы $S = 10^{8}$. В таком случае соответственно изменилась бы формула (3) \begin{align*}\tag{11} (10^8 m_{\pi})V_{pl} L_{{\!}_R}, \end{align*} а также те выражения, которые представлены в §3.5.2 . При этом выражения, приведенные в §3.7.1, имели бы такой вид

3.8.2 Приходим к следующему выводу: при любом значении числа $\boldsymbol{S}$ никаких принципиальных изменений не происходит—при условии, что $\boldsymbol{S < 10^{16}}$ (вместо множителя 1 в формуле (3) появляется другой множитель; в приведенном выше примере—множитель $10^{8}$).

3.9.1 Результаты расчета параметров $V_{pl} L_{{\!}_R}$ (единичных моментов импульсов), соответствующих каждой планете (см. таб. 5),—это величины, имеющие размерность $\mathrm{cm^2}\cdot \mathrm{\sec^{-1}}$. Перейдем к другим размерностям, например выразим указанные результаты в $\mathrm{m^2}\cdot \mathrm{\sec^{-1}}$.

Поскольку $1\mathrm{m^2}=10^4 \mathrm{cm^2}$, то появится дополнительный множитель $10^{-4}$. Следовательно, выражения, приведенные в §3.7.1, приняли бы такой вид

3.9.2 Указание линейных параметров в сантиметрах или в метрах, указание времени в секундах, означает использование в наших расчетах таких систем единиц, которые введены согласно известным международным соглашениям. Однако, предположим следующее (в качестве допущения):

• все линейные размеры и расстояния измерены, например, в ярдах;
• за единицу времени принято время, необходимое фотонам, чтобы пройти путь, равный длине экватора Земли.

Это означает, что в наших расчетах появился бы другой дополнительный множитель, a не $10^{-4}$.

Однако, ни в случае, описанном в §3.9.1, ни в случае, описанном в §3.9.2, дополнительные множители не могут привести к каким-либо принципиальным изменениям в записи результатов расчетов. Мы выбрали систему единиц СГС ($\mathrm{cm, g, \sec}$), чтобы те или иные (возможные) дополнительные множители были равны 1.

4.1.1 Рассмотрим планетарную модель атома водорода—предложенную Э. Резерфордом и углубленно разработанную Н. Бором [6]. В соответствии с данной моделью запишем параметры электрона, который—как предполагал Бор—движется в атоме по одной из стационарных (разрешенных) орбит; назовем их орбиты Бора. Приведем известную формулу Бора, выделяющую указанные траектории (орбиты) из всех возможных траекторий движения электрона в атоме водорода \begin{align*}\tag{12} m_{e}v_{n}R_{n}=n\frac{h}{2\pi} \end{align*} Здесь:

• $m_{e}$—масса покоя электрона;
• $v_{n}$—скорость движения электрона вокруг протона;
• $R_{n}$—радиус стационарной (разрешенной) орбиты;
• $n$—главное квантовое число ($n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \dots$).

4.1.2 Пусть $n = 1$; в этом случае формула (12) будет иметь вид

• $v_{{}_1} = c/137$ ($c$—скорость света в вакууме);
• $R_{1} \cong 5.29\cdot 10^{-9}\mathrm{cm}$ (радиус первой стационарной орбиты).

Преобразуем формулу (12) \begin{align*}\tag{14} v_nR_n=n\left( \frac{h}{2\pi} \frac{1}{m_e} \right) \end{align*}

4.2.1 Мы хотим показать следующее.

В Солнечной системе имеется особая группа планет; в этой группе планет проявляется единство основных структурных принципов, согласно которым построены два природных объекта, радикально различающиеся по своим масштабам и по своим свойствам:

• физический объект, состоящий из протона (ядра) и электрона, который—согласно модели Резерфорда–Бора—движется вокруг протона (атом водорода);
• физический объект, состоящий из звезды и особой группы планет, движущихся вокруг звезды (данной особой группе планет дадим наименование планетарный атом).

4.2.2 Атом водорода является основным элементом микромира. Второй объект—планетарный атом в Солнечной системе—относится к космосу, к миру звезд и галактик.

4.2.3 Строгое описание атома водорода возможно только на основе квантовой механики—волновой или матричной. Модель Резерфорда–Бора можно рассматривать только как первое приближение, которое дает общее отображение атома водорода.

4.2.4 Однако, в той теоретической задаче, которую мы поставили—показать единство основных структурных принципов построения двух, столь разных, природных объектов—возможно (и достаточно) использование приближенного отображения атома водорода.

4.3.1 Как известно, количество проявляющихся энергетических уровней в атомах химических элементов равно семи: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ (эти числа есть значения первого квантового числа $n$).

4.3.2 Следовательно, планетарный атом должен состоять из группы таких планет: Меркурий, Венера, Земля и Марс. Этим планетам соответствует следующая последовательность значений произведения $V_{pl}L{\!_R}$: $3, 4, 5, 6$ (см. гл. 3, §3.3.5, §3.3.6, а также таблицы 5 и 6).

4.4.1 Вернемся к формуле (14) и проведем необходимые расчеты для $n=1$ \begin{align*} v_1 = \frac{c}{137} = 21.898 \cdot 10^7 \si{\cm}/\sec; \quad R_1 = 5.292 \cdot 10^{-9} \si{\cm} \end{align*}

4.4.2 Отсюда следует, что \begin{align*} v_1 R_1 = \frac{h}{2\pi} \frac{1}{m_e} = (21.898 \cdot 10^7) \cdot (5.292 \cdot 10^{-9}) = 1.159 (\si{\cm}^2/\sec) \end{align*}

4.4.3 Перейдем к планетарному атому. Будем описывать его такой формулой \begin{align*}\tag{15} V_{pl} L_{\!_R} = v_n R_n (\frac{3}{5} \frac{m_{\pi}}{m_p}) \end{align*} Здесь:

• $m_\pi \equiv m_{\!_P}; \quad m_\pi / m_p = 1.301 \cdot 10^{19};$
• $3/5$—коэффициент, учитывающий гравитационное взаимодействие между планетами.

4.4.4 Результаты расчетов величины $V_{pl} L_{\!_R}$ согласно формуле (15) приведены в таблице 7

(Мы предполагаем, что существенное различие между фактической величиной $V_{pl} L_R$ для Венеры и расчетной величиной $V_{pl} L_R$ связано с тем, что Венера вращается (движется вокруг Солнца) в направлении, противоположном направлению вращения большинства других планет.)

• 1. Приведем следующие данные.
  • минимально возможный радиус атома водорода (т.е. радиус орбиты Бора при $n = 1$); данный радиус обозначим $R_{\!_H}$ \begin{align*} R_{\!_H}=5.292\cdot 10^{-9} \mathrm{cm} \end{align*}
  • соотношение массы Планка $m_{\!_P}$ и массы протона $m_{p}$ (при этом: $m_{\!_P} \equiv m_{\pi}$—см. §3.1.2); согласно §3.5.1 \begin{align*} m_{\pi}=1.301\cdot 10^{19}m_{\!_p}\: \end{align*}
• 2. Рассчитаем радиус Солнца, который обозначим $R^{*}_{\odot}$. Этот радиус будем рассчитывать по следующей формуле \begin{align*} R^{*}_{\odot}=\frac{m_{\pi}}{m_p} R_{\!_H} \end{align*} Далее получаем \begin{align*} R^{*}_{\odot}=1.301\cdot 10^{19} (5.292\cdot 10^{-9})=6.885 \cdot 10^{10} \mathrm{cm} \end{align*}
• 3. Радиус Солнца (по экватору) согласно данным NASA [3] \begin{align*} R_{\odot}=6.957 \cdot 10^{10} \mathrm{cm} \end{align*} Отклонение расчетного результата от данных наблюдений \begin{align*} \Delta = \frac{R_{\odot} - R^{*}_{\odot}}{R_{\odot}}=0.0103 \end{align*}
• 4. Необходимо отметить следующее:

  безразмерный параметр $\boldsymbol{m_{\pi}/m_p}$, а также параметр $\boldsymbol{m_p / m_{\pi}}$ есть особые количественные параметры Солнечной системы.