РАДИУСЫ И ОБЪЕМЫ КВАНТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

1.1.1 Как известно, электромагнитная волна в вакууме есть распространяющееся со скоростью $c$ (скоростью света) локальное переменное вихревое электрическое поле, которое создает (индуцирует) локальное переменное вихревое магнитное поле. И, соответственно, наоборот.

При этом плотность энергии электромагнитной волны (обозначим ее $\varphi_\mu$) описывается следующими эквивалентными формулами (в системе размерностей Гаусса) \begin{align*} \varphi_\mu = \frac{1}{8\pi}(E_{\max}^2 + H_{\max}^2) \end{align*} или \begin{align*} \varphi_\mu = \frac{E_{\max}^2}{4\pi} = \frac{H_{\max}^2}{4\pi} \end{align*} (здесь: $E_{\max}$, $H_{\max}$—максимальные значения напряженностей электрического поля и магнитного поля в электромагнитной волне).

1.1.2 Во второй половине 19 века Дж. Максвеллом была построена теория электромагнитных волн (далее в тексте мы будем также употреблять сокращенное наименование: э/м волны).

1.2.1 В процессе исследования света (волн света) было установлено (в том же 19 веке), что волна света является поперечной. Это приводит к необходимости поставить вопрос о поперечном размере электромагнитной волны.

1.2.2 Однако, найти поперечный размер э/м волны исходя из уравнений Максвелла невозможно—принципиально невозможно. Поэтому единственной геометрической характеристикой электромагнитных волн является только длина волны: со времени Максвелла (и ранее) и до настоящего времени во всех экспериментальных и теоретических исследованиях оперируют исключительно длиной волны $\lambda$.

1.3.1 В излагаемой далее работе установлено поперечное сечение электромагнитной волны. Чтобы установить это сечение, его площадь и конфигурацию, были приняты некоторые исходные предположения о физических свойствах э/м волн.

1.3.2 Решение указанной выше задачи дало возможность рассчитать объемы отдельных квантов электромагнитных волн (в частности, квантов гамма-излучения, рентгеновского излучения и спектра волн атома водорода). Это позволило провести общее исследование квантов э/м волн различных типов.

2.1.1 Рассмотрим принятый в настоящее время график электромагнитной волны длиной $\lambda_\gamma$, который построен в системе координат $x, y, z$ в соответствии с теорией Максвелла (данный график—известный, стандартный, и поэтому не приводится). На таком графике всегда представлены две одинаковые синусоиды, отражающие синхронные гармонические колебания (изменения) значений векторов напряженности электрического поля ($\vec{E}$) и векторов напряженности магнитного поля ($\vec{H}$). Синхронные изменения значений этих векторов описываются в двух, взаимно перпендикулярных, плоскостях:

• плоскости колебаний (примем, что это плоскость, соответствующая осям $x$ и $y$);
• плоскости поляризации (это плоскость, соответствующая осям $x$ и $z$).

2.1.2 Исследование электромагнитных волн (в частности, волн света) было начато Гюйгенсом. Он предполагал, что свет—это продольная волна. Но (как было установлено позднее) электромагнитная волна—в данном случае свет—является поперечной волной. За прошедшие после работ Гюйгенса три с половиной столетия были полностью изучены физические свойства э/м волн, однако их поперечные геометрические размеры до сих пор неизвестны.

2.2.1 Установим поперечное сечение электромагнитной волны. На оси $x$ выберем произвольно точку, которую обозначим $k$. Точке $k$ соответствует время $t_k$ (примем что $t_k=t_\gamma/3$). Предположим, что построена бесконечная плоскость, которая перпендикулярна оси $x$ (точка $k$ лежит в этой плоскости). Данной плоскости дадим наименование плоскость $k$.

2.2.2 Как известно, согласно теории Максвелла в плоскости $k$ напряженности электрического поля (векторы $\vec{E}_{k}$) имеют одинаковую абсолютную величину и одинаковое направление в любой точке, выбранной (с учетом изложенного ниже) на указанной плоскости. Также и напряженности магнитного поля (векторы $\vec{H}_{k}$) имеют одинаковые величину и направление в тех же точках плоскости $k$.

2.2.3 Построенная плоскость $k$, перпендикулярная оси $x$, является бесконечной. Однако, та часть плоскости $\bm{k}$, в которой проявляются физические свойства электромагнитной волны (т.е. проявляются векторы $\bm{\vec{E}_{k}}$ и $\bm{\vec{H}_{k}}$), не может быть бесконечно большой. Данной, конечной, части плоскости $\bm{k}$ дадим наименование $\bm{\mu}$-площадь. Конечная $\mu$-площадь должна иметь некоторые границы.

2.2.4 Предположим, что границы ${\mu}$-площади размыты, т.е. не заданы однозначно. Допустим, что на границах $\mu$-площади происходит постепенное затухание электрического и магнитного полей, т.е. происходит постепенное уменьшение до нуля абсолютной величины векторов $\bm{\vec{E}_{k}}$ и $\bm{\vec{H}_{k}}$.

2.2.5 Однако, такое допущение (предположение) неверно, поскольку выше—в §2.2.2—указано, что в соответствии с теорией Максвелла в любой точке, выбранной на плоскости $k$ (выбранной в пределах $\mu$-площади): $E_k = \text{const}$ и $H_k = \text{const}$ ($E_k$, $H_k$—абсолютные величины рассматриваемых векторов).

2.2.6 Следовательно, границами (границей) $\mu$-площади может быть только некоторая замкнутая линия. Внутри данной линии находятся (проявляются) векторы $\vec{E}_{k}$ и $\vec{H}_{k}$—одной и той же абсолютной величины в любой точке $\mu$-площади; вне линии: $\vec{E}_{k} = 0$, $\vec{H}_{k} = 0$. Этой замкнутой линии дадим наименование линия контура $\bm{\mu}$-площади.

2.3.1 Укажем принципиально возможные формы линии контура $\mu$-площади.

• А. Прямолинейные конфигурации: равносторонний треугольник (1), квадрат (2), правильный (равносторонний) многоугольник (3).
• В. Криволинейные конфигурации: эллипс(4), окружность (5).

Примем, что ось $x$ проходит через геометрические центры перечисленных фигур.

2.3.2 Из всех, принципиально возможных, конфигураций рассматриваемой замкнутой линии особо выделяется наиболее простая форма—окружность. В любом другом случае необходимо существование таких дополнительных условий:

• требование, чтобы контур $\mu$-площади был ограничен ломаной прямой линией, а не кривой (для фигур $1, 2, 3$);
• требование, чтобы точки, лежащие на линии контура, находились на разных, строго заданных, расстояниях от оси $x$ (для всех четырех фигур: $1, 2, 3, 4$);
• требование, чтобы математическое описание линии контура было построено на двух параметрах, а не на одном (две разные полуоси эллипса, размеры углов и сторон многоугольника).

2.4.1 Для того, чтобы полностью задать любую электромагнитную волну необходимо и достаточно указать единственную характеристику—длину волны $\bm{\lambda}$ (или частоту волны $c/\lambda$). Это означает, что длина волны $\lambda$ и радиус указанной выше окружности $R$ однозначно связаны.

2.4.2 Введем следующие обозначения: $\lambda_\gamma$ и $R_\gamma$ . Отметим, что обе величины—$\lambda_\gamma$ и $R_\gamma$—имеют одну и ту же размерность ($\si{\m}$, $\si{\cm}$ и т.п.). Следовательно, приходим к такому соотношению между $\lambda_\gamma$ и $R_\gamma$ \begin{align*}\tag{1} {\lambda}_{\gamma} = \eta{R}_{\gamma} \end{align*} (здесь $\eta$—безразмерный (числовой) коэффициент).

2.4.3 Примем следующую исходную предпосылку: длина линии окружности, ограничивающей $\bm{\mu}$-площадь, должна быть равна длине волны $\bm{\lambda_\gamma}$.

2.4.4 Это означает, что \begin{align*}\tag{2} {\lambda}_{\gamma} = 2\pi{R}_{\gamma}\:, \end{align*} \begin{align*}\tag{3} \eta = 2\pi \end{align*} (Предпосылка, принятая выше, основана на предположении, что безразмерный коэффициент $\eta$ не может быть каким-либо произвольным числом).

3.1.1 В соответствии с теорией Максвелла энергия электрического поля и энергия магнитного поля распределены вдоль всей длины волны $\bm{\lambda_\gamma}$. Поперечное сечение электромагнитной волны было установлено в гл. 2. Данное сечение есть $\boldsymbol{\mu}$-площадь. Линия контура $\mu$-площади—это окружность радиусом $R_\gamma$, ограничивающая поперечное сечение волны.

3.1.2 Поскольку \begin{align*} {\lambda}_{\gamma}= 2 \pi {R}_{\gamma}, \end{align*} то объем одного кванта электромагнитной волны (обозначим его ${V}_{\gamma}$) можно представить такой формулой \begin{align*}\tag{4} {V}_{\gamma}= {(\pi {R}_{\gamma}^{2})}{\lambda}_{\gamma} ; \end{align*} далее получаем \begin{align*}\tag{5} {V}_{\gamma}=\pi {\left( \frac{\lambda_\gamma}{\eta} \right)}^{2}{\lambda}_{\gamma} = \frac{\pi}{\eta^2} \lambda^3_\gamma = 2 \pi^2 R^3_\gamma \end{align*}

3.2.1 Как известно, ядра атомов излучают(и поглощают) гамма-кванты с энергией в диапазоне от ${\sim}0.01\si{\MeV}$ до ${\sim}5\si{\MeV}$. Выберем для исследования такое гамма-излучение, кванты которого имеют энергию ${\sim}0.1\si{\MeV}$.

3.2.2 В качестве примера рассмотрим ядро иридия $\ce{_{77}{Ir}^{191}}$. Оно излучает и поглощает кванты с энергией $0.129\si{\MeV}$ (мы принимаем в расчетах, что энергии излучаемого кванта и поглощаемого кванта приблизительно одинаковы). Длина волны указанного кванта ($\lambda_\gamma$) будет равна $9.611 \cdot 10^{-12} \si{\m}$, а радиус окружности, ограничивающей $\mu$-площадь, равен \begin{align*} R_{\gamma} = 1.5301 \cdot 10^{-12}\si{\metre} \end{align*} Следовательно, согласно формуле (5) объем рассматриваемого гамма-кванта составит \begin{align*}\tag{6} V_\gamma = 2 \pi^2 R^3_\gamma = 7.063 \cdot 10^{-35}\si{{\m}^3} \end{align*}

3.3.1 Радиус достаточно тяжелых ядер может быть рассчитан по известной приближенной формуле [1] \begin{align*}\tag{7} R \approxeq 1.4 \cdot {A}^{\frac{1}{3}} \cdot 10^{-15}\si{\metre}\:, \end{align*} где $A$—количество нуклонов в ядре. Радиус ядра $\ce{_{77}{Ir}^{191}}$—в соответствии с указанной формулой—имеет величину \begin{align*}\tag{8} R \approxeq 1.4 \cdot {191}^{\frac{1}{3}} \cdot 10^{-15} = 8.064 \cdot 10^{-15}\si{\m} \end{align*} Следовательно объем ядра иридия равен \begin{align*}\tag{9} V \approxeq \frac{4}{3}\pi R^3=2.197 \cdot 10^{-42}\si{{\m}^3} \end{align*}

3.3.2 Соотнесем расчетный объем рассмотренного выше гамма-кванта с расчетным объемом ядра иридия \begin{align*} V_\gamma/V \approx 3.215 \cdot 10^{7} \end{align*} Полученное соотношение приводит к вопросу: как может ядро иридия $\boldsymbol{\ce{_{77}{Ir}^{191}}}$ поглощать такие гамма-кванты, если объем каждого кванта в $\boldsymbol{{\sim}10^7}$ раз превышает объем ядра?

3.4.1 Известно, что первый возбужденный уровень ядра изотопа железа $\ce{_{26}{Fe}^{57}}$ имеет энергию $0.0144\si{\MeV}$. Переход в невозбужденное состояние связан с излучением ядром железа соответствующего гамма-кванта (мы будем рассматривать возможность обратного случая—поглощения данного гамма-кванта ядром железа). Длина волны указанного кванта ($\lambda^{*}_\gamma$) равна $8.610 \cdot 10^{-11}\si{\m}$. Следовательно, радиус окружности, ограничивающей поперечное сечение кванта, составит \begin{align*} R^{*}_\gamma = 1.371 \cdot 10^{-11}\si{\m} \end{align*}

3.4.2 Укажем расчетный объем кванта исследуемого гамма-излучения (примем, что излучаемый квант и поглощаемый квант должны быть приблизительно одинаковы по своей энергии и размерам). \begin{align*} V^{*}_\gamma = 5.082 \cdot 10^{-32}{\si{\m}}^{3} \end{align*} Установим радиус ядра изотопа железа $\ce{_{26}{Fe}^{57}}$ \begin{align*} R^{*} \approxeq 1.4 \cdot 57 ^{\frac{1}{3}} \cdot 10 ^{-15} = 5.376 \cdot 10^{-15}\si{\m} \end{align*} Рассчитаем объем ядра—в соответствии с данным радиусом \begin{align*} V^{*} \approxeq 6.509 \cdot 10^{-43}\si{{\m}^3} \end{align*} Соотношение между расчетным объемом гамма-кванта и расчетным объемом ядра будет равно \begin{align*} V^{*}_\gamma / V^{*} \approx 7.808 \cdot 10^{10} \end{align*}

4.1.1 Исследуем атом—атом водорода. Проведем анализ условий поглощения данным атомом следующих квантов: ультрафиолетовых волн, волн светового спектра и инфракрасных волн (этот диапазон электромагнитных волн есть спектр атома водорода).

4.1.2 Будем рассматривать указанные ниже известные серии электромагнитных волн, излучаемых и поглощаемых атомом водорода.

1. Серия э/м волн Лаймана. Самая длинная волна данной серии, лежащая в ультрафиолетовой части спектра атома водорода, имеет длину $\lambda_{\gamma.1}$, которая равна $1.216 \cdot 10^{-7} \si{\m}$ [2]. Эта длина волны соответствует переходу электрона—при поглощении кванта—с энергетического уровня $n=1$ на энергетический уровень $n=2$.
2. Серия э/м волн Бальмера (в световой части спектра атома водорода находятся четыре волны данной серии). Из этой серии выбрана также самая длинная волна; ее $\lambda_{\gamma.2}$ равна $6.563 \cdot 10^{-7} \si{\m}$ [2] (это соответствует переходу электрона с уровня $n=2$ на уровень $n=3$).
3. Серия э/м волн Пашена. Рассматривается самая длинная волна, которая находится в инфракрасной части указанного выше спектра; ее длина ${\lambda}_{\gamma.3} = 1.875 \cdot 10^{-6} \si{\m}$ [2] (это соответствует переходу электрона с уровня $n=3$ на уровень $n=4$.
4. Серия э/м волн Брэкета. Выбрана самая длинная волна, которая находится также в инфракрасной части спектра атома водорода; ее длина ${\lambda}_{\gamma.4} = 4.05 \cdot 10^{-6} \si{\m}$ [2] (это соответствует переходу электрона с уровня $n=4$ на уровень $n=5$).
5. Серия э/м волн Пфунда. Выбранная волна данной серии, которая имеет длину $\mathrm{{\lambda}_{\gamma.5} = 7.4 \cdot 10^{-6}\si{\m}}$, [3] также относится к инфракрасной части рассматриваемого спектра электромагнитных волн (это соответствует переходу электрона с уровня с уровня $n=5$ на уровень $n=6$).

4.2.1 Объем атома водорода ($V_H$). Примем, что для наших приближенных расчетов можно использовать модель атома Бора. Исходя из длин исследуемых электромагнитных волн выберем такие значения $n: 2, 3, 4, 5, 6$. Рассчитаем объем атома водорода (условный объем), соответствующий указанным значениям $n$.

4.2.2 Радиусы атома водорода (обозначим их $R_2, R_3, R_4, R_5, R_6$) будем определять по известной формуле—согласно модели атома Бора \begin{align*} R_n = n^2 R_0 \:, \end{align*} где $R_0 = 5.292 \cdot 10^{-11} \si{\m}$—минимально возможный радиус атома. Приведем расчетные значения радиусов: \begin{align*} R_2 &= 2.117 \cdot 10^{-10}\si{\m},\quad R_3 = 4.763 \cdot 10^{-10}\si{\m}, \quad R_4 = 8.467 \cdot 10^{-10}\si{\m},\\ R_5 &= 1,323 \cdot 10^{-9}\si{\m},\quad R_6 = 1,905 \cdot 10^{-9}\si{\m}. \end{align*} Расчетные объемы атома водорода обозначим $\boldsymbol{V_{H.n}}$ . Согласно формуле $\boldsymbol{V_H = \frac{4}{3}\pi R^3_n}$ получаем: \begin{align*} V_{H.2} &= 3.975 \cdot 10^{-29} \si{\m^{3}}, \quad V_{H.3} = 4.528 \cdot 10^{-28} \si{\m^{3}},\quad V_{H.4} = 2.543 \cdot 10^{-27} \si{\m^{3}},\\ V_{H.5} &= 9.7 \cdot 10^{-27}\si{\m^{3}},\quad V_{H.6} = 2.896 \cdot 10^{-26} \si{\m^{3}} \:. \end{align*}

4.3.1 Рассчитаем объемы квантов электромагнитных волн, описанных в §4.1.2

1. Объем кванта при $\lambda_{\gamma.1} = 1.216 \cdot 10^{-7} \si{\m}$
   • a) Радиус $R_{\gamma.1}$ \begin{align*} R_{\gamma.1} = \frac{\lambda_{\gamma.1}}{2\pi}=1.936 \cdot 10^{-8} \si{\m} \end{align*} ($R_{\gamma.1}$ - это радиус окружности, ограничивающей поперечное сечение кванта э/м волны длиной $\lambda_{\gamma.1}$).
   • b) Площадь поперечного сечения кванта $S_{\gamma.1}$ \begin{align*} S_{\gamma.1}=\pi R^2_{\gamma .1}=1.177 \cdot 10^{-15} \si{\m^2} \end{align*}
   • c) Объем кванта $\boldsymbol{V_{\gamma.1}}$ \begin{align*} V_{\gamma.1} = S_{\gamma.1} \cdot \lambda_{\gamma.1} = \boldsymbol{1.431 \cdot 10^{-22} \si{{\m}^3}} \end{align*}
2. Объем кванта при $\boldsymbol{\lambda_{\gamma.2} = 6.563 \cdot 10^{-7} \si{\m}}$ \begin{align*} R_{\gamma.2} = 1.045 \cdot 10^{-7} \si{\m}; \quad S_{\gamma.2} = 3.429 \cdot 10^{-14} \si{\m^{2}}; \quad \boldsymbol{V_{\gamma.2} = 2,251 \cdot 10^{-20}\si{\m^{3}}} \end{align*}
3. Объем кванта при $\boldsymbol{\lambda_{\gamma.3} = 1,875 \cdot 10^{-6} \si{\m}}$ \begin{align*} R_{\gamma.3}= 2,986 \cdot 10^{-7} \si{\m}; \quad S_{\gamma.3} = 2,799 \cdot 10^{-13} \si{\m^{2}}; \quad \boldsymbol{V_{\gamma.3} = 5,249 \cdot 10^{-19} \si{\m^{3}}} \end{align*}
4. Объем кванта при $\boldsymbol{\lambda_{\gamma.4} = 4,05 \cdot 10^{-6} \si{\m}}$ \begin{align*} R_{\gamma.4}= 6,449 \cdot 10^{-7} \si{\m}; \quad S_{\gamma.4} = 1,306 \cdot 10^{-12} \si{\m^{2}}; \quad \boldsymbol{V_{\gamma.4} = 5,289 \cdot 10^{-18} \si{\m^{3}}} \end{align*}
5. Объем кванта при $\boldsymbol{\lambda_{\gamma.5} = 7.4 \cdot 10^{-6} \si{\m}}$ \begin{align*} R_{\gamma.5} = 1.178 \cdot 10^{-6} \si{\m}; \quad S_{\gamma.5} = 4.359 \cdot 10^{-12} \si{\m^{2}}; \quad \boldsymbol{V_{\gamma.5} = 3.225 \cdot 10^{-17} \si{\m^{3}}} \end{align*}

4.3.2 Констатируем: соотношения между объемами квантов электромагнитных волн, излучаемых и поглощаемых атомом водорода, и объемом данного атома, приводят к вопросу, который был сформулирован в §3.3.2.

5.1 Основная задача настоящей работы состояла в том, чтобы установить соответствие (или несоответствие) между объемами ядер и атомов и объемами тех квантов электромагнитных волн, которые эти ядра и атомы излучают и поглощают.

5.2 В качестве примеров были выбраны ядро изотопа иридия $\ce{_{77}{Ir}^{191}}$, ядро изотопа железа $\ce{_{26}{Fe}^{57}}$ и атом водорода.

5.3 Чтобы рассчитать объемы отдельных квантов электромагнитных волн, потребовалось установить их поперечное сечение—площадь и конфигурацию.

5.4 Исследование поперечного сечения э/м волны привело к необходимости введения безразмерного коэффициента $\eta$, для которого было принято значение $2\pi$.

5.5 Мы также установили базовое значение коэффициента $\eta$ (см. приложение) \begin{align*} \eta = 2\pi \cdot 137 \end{align*}

5.6 Решение задачи о поперечном сечении квантов э/м волн позволило сопоставить объемы квантов гамма-излучения иридия $\ce{_{77}{Ir}^{191}}$ и железа $\ce{_{26}{Fe}^{57}}$ с объемами ядер, которые эти кванты излучают и поглощают.

5.7 Аналогичное исследование проведено для линейчатого спектра излучения и поглощения электромагнитных волн атомом водорода.